Einstiegstest 1

Über den Autor 9

Danksagung 9

Inhaltsverzeichnis 11

Einleitung 17

Was Sie schon immer über lineare Algebra wissen wollten 17

Meine Leser 17

Ziel des Buches 18

Nötiges Vorwissen 19

Jenseits dieses Buches 19

Was bedeutet was 19

Nur Mut zum Stolpern 20

1 Algebraische Grundlagen der Zahlensysteme 23

Mathematik und die natürlichen Zahlen 23

Eigenschaften der Grundrechenarten 26

Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 27

Mathematiker und ihre Konstruktion der ganzen Zahlen 29

Aufgaben mit Klammern richtig lösen 30

Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders 30

Mathematiker und ihre Definition der rationalen Zahlen 32

Rationale Zahlen und Dezimalbrüche 33

Und plötzlich wird's irrational … und doch real! 35

Mathematiker und die Konstruktion der reellen Zahlen 36

Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 37

Das Summenzeichen 38

Notwendige und hinreichende Bedingungen 39

Grundlegende Begriffe über allgemeine Funktionen 40

2 Logische Grundlagen der Sprache, Mengen und Beweistechniken 45

Alles über Mengen 45

Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 47

Von Zahlen, Mengen und Intervallen 49

Mit Mengen einfach rechnen können 49

Mengengleichheit 50

Durchschnitt und Vereinigung von Mengen 50

Mengendifferenz und Komplementbildung 51

Kreuzprodukt von Mengen 52

Venn-Diagramme 53

Logische Verküpfungen kompetent anwenden können 55

Wahre und falsche Aussagen 56

Aussagen verknüpfen 56

Die Mathematik als Sprache erkennen 58

Terme als Worte im mathematischen Satz 59

Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 59

Mit Quantoren neue Formeln bilden 61

Die Unendlichkeit – unzählige Welten? 63

Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen 65

Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 66

Methode 1: Direkter Beweis 67

Methode 2: Indirekter Beweis 67

Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 69

Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 70

3 Lineare Gleichungssysteme Schritt für Schritt analysieren 75

Gleichungen in verschiedenen Formen und Größen 75

Lineare Gleichungen in einer Unbekannten 76

Quadratische Gleichungen in einer Unbekannten 77

Lineare Gleichungssysteme unter die Lupe genommen 78

Gleichungssyteme in Diagonalgestalt 80

Die nützliche Zeilenstufenform 81

Der legendäre Gauß-Algorithmus 83

4 Vektorräume – mehr als eine Welt der Pfeile 89

Der Raum Kⁿ 89

Praxisbeispiel: Kräfte an einem Ausleger berechnen 95

Schöne Teilmengen: Untervektorräume 97

5 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 105

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 105

Punkte im Raum 105

Parametergleichung für Geraden 107

Zweipunktegleichung für Geraden 108

Parametergleichung für Ebenen 110

Dreipunktegleichung für Ebenen 111

Koordinatengleichung für Ebenen 112

Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 112

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 115

Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden 115

Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen 118

Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene 121

Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 124

6 Rechnen in Gruppen, Ringen und Körpern 129

Grundlegende Strukturen: Gruppen 132

In Ringen mit zwei Operationen rechnen 134

Teilbarkeit und das Rechnen mit Restklassen 138

Rechnen mit Restklassen im Alltag 143

7 Keine Angst vor komplexen Zahlen 147

Definition der komplexen Zahlen 147

Komplexe Zahlen addieren und multiplizieren 149

Division komplexer Zahlen in der Praxis 149

Komplexe quadratische Gleichungen 151

Komplexe Zahlen als reelle Ebene 152

Komplexe Zahlen als Polarkoordinaten 154

Kurzer Ausblick auf die Anwendungen dieser Zahlen 158

Jenseits der komplexen Zahlen: Quaternionen und Oktonionen 158

8 Überlebenstechniken in Vektorräumen 161

Linearkombination und lineare Hüllen 161

Lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensysteme 165

Vektorräume und ihre Basen 168

Drei Existenzsätze für Basen 170

Dimension eines Vektorraums 174

9 Lineare Abbildungen tiefgründig verstehen lernen 181

Grundlagen linearer Abbildungen 181

Kerne und Bilder von linearen Abbildungen 186

Homomorphismen über Homomorphismen 190

Endliche Beschreibung von Homomorphismen 193

Klassifikation endlich-dimensionaler Vektorräume 195

Der Dimensionssatz 197

Eigenschaften injektiver linearer Abbildungen 200

10 Die Welt der Matrizen 203

Darstellende Matrizen von linearen Abbildungen 203

Matrizenaddition und -skalarmultiplikation 207

Matrizenmultiplikation leicht gemacht 210

Inverse Matrizen verstehen 215

Matrizen als lineare Abbildungen auffassen 218

11 Praktische Anwendungen von Matrizen 221

Matrizen als Drehungen in der reellen Ebene 221

Matrizen als Spiegelungen in der reellen Ebene 225

Überführungsmatrizen in Produktionsprozessen 228

Elementare Zeilenumformungen als Matrizen 230

Matrizen als elementare Umformung: Vertauschen von zwei Zeilen 230

Matrizen als Elementare Umformung: Skalarmultiplikation einer Zeile 232

Matrizen als Elementare Umformung: Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen 233

12 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und lineare Abbildungen 237

Koeffizientenmatrizen und ihre Eigenschaften 237

Geometrie der Lösungsmengen 239

Unterräume als Lösungsmengen 241

Praktisches Invertieren von Matrizen mit dem Gaußschen Algorithmus 243

Ausblick jenseits dieses Buches 247

13 Lösungen zu den Aufgaben 249

Glossar 261

Index 265

Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra

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